• Cho các hàm f(t) và g(t), và các hàm ảnh tương ứng F(s) và G(s):

f ( t ) = L − 1 { F ( s ) } {\displaystyle f(t)={\mathcal {L}}^{-1}\left\{F(s)\right\}}

g ( t ) = L − 1 { G ( s ) } {\displaystyle g(t)={\mathcal {L}}^{-1}\left\{G(s)\right\}}

• Sau đây là bảng các tính chất của biến đổi Laplace:

Tính chất	Miền thời gian	Miền tần số
Tuyến tính	a f ( t ) + b g ( t )   {\displaystyle af(t)+bg(t)\ }	a F ( s ) + b G ( s )   {\displaystyle aF(s)+bG(s)\ }
Đạo hàm trong miền tần số	t f ( t )   {\displaystyle tf(t)\ }	− F ′ ( s )   {\displaystyle -F'(s)\ }
Đạo hàm bậc n trong miền tần số	t n f ( t )   {\displaystyle t^{n}f(t)\ }	( − 1 ) n F ( n ) ( s )   {\displaystyle (-1)^{n}F^{(n)}(s)\ }
Đạo hàm trong miền thời gian	f ′ ( t )   {\displaystyle f'(t)\ }	s F ( s ) − f ( 0 − )   {\displaystyle sF(s)-f(0^{-})\ }
Đạo hàm bậc 2	f ″ ( t )   {\displaystyle f''(t)\ }	s 2 F ( s ) − s f ( 0 − ) − f ′ ( 0 − )   {\displaystyle s^{2}F(s)-sf(0^{-})-f'(0^{-})\ }
Tổng quát	f ( n ) ( t )   {\displaystyle f^{(n)}(t)\ }	s n F ( s ) − s n − 1 f ( 0 − ) − ⋯ − f ( n − 1 ) ( 0 − )   {\displaystyle s^{n}F(s)-s^{n-1}f(0^{-})-\cdots -f^{(n-1)}(0^{-})\ }
Tích phân trong miền tần số	f ( t ) t   {\displaystyle {\frac {f(t)}{t}}\ }	∫ s ∞ F ( σ ) d σ   {\displaystyle \int _{s}^{\infty }F(\sigma )\,d\sigma \ }
Tích phân trong miền thời gian	∫ 0 t f ( τ ) d τ = u ( t ) ∗ f ( t ) {\displaystyle \int _{0}^{t}f(\tau )\,d\tau =u(t)*f(t)}	1 s F ( s ) {\displaystyle {1 \over s}F(s)}
Đồng dạng	f ( a t )   {\displaystyle f(at)\ }	1 | a | F ( s a ) {\displaystyle {1 \over |a|}F\left({s \over a}\right)}
Biến đổi trong miền tần số	e a t f ( t )   {\displaystyle e^{at}f(t)\ }	F ( s − a )   {\displaystyle F(s-a)\ }
Biến đổi trong miền thời gian	f ( t − a ) u ( t − a )   {\displaystyle f(t-a)u(t-a)\ }	e − a s F ( s )   {\displaystyle e^{-as}F(s)\ }
Tích chập	( f ∗ g ) ( t )   {\displaystyle (f*g)(t)\ }	F ( s ) ⋅ G ( s )   {\displaystyle F(s)\cdot G(s)\ }
Hàm tuần hoàn	f ( t )   {\displaystyle f(t)\ }	1 1 − e − T s ∫ 0 T e − s t f ( t ) d t {\displaystyle {1 \over 1-e^{-Ts}}\int _{0}^{T}e^{-st}f(t)\,dt}

• Định lý giá trị ban đầu: (Định lý giới hạn)

f ( 0 + ) = lim s → ∞ s F ( s ) {\displaystyle f(0^{+})=\lim _{s\to \infty }{sF(s)}}

• Định lý giá trị cuối: (Định lý giới hạn)

f ( ∞ ) = lim s → 0 s F ( s ) {\displaystyle f(\infty )=\lim _{s\to 0}{sF(s)}} , trong nửa mặt phẳng (Re.s > so)

Biến đổi Laplace của phép đạo hàm của một hàm

Thường dùng phép tính vi phân của biến đổi Laplace để tìm dạng đạo hàm của một hàm. Ta có thể thu được từ biểu thức cơ bản đối với biến đổi Laplace như sau:

L { f ( t ) } = ∫ 0 − + ∞ e − s t f ( t ) d t {\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}=\int _{0^{-}}^{+\infty }e^{-st}f(t)\,dt}     = [ f ( t ) e − s t − s ] 0 − + ∞ − ∫ 0 − + ∞ e − s t − s f ′ ( t ) d t {\displaystyle ~~=\left[{\frac {f(t)e^{-st}}{-s}}\right]_{0^{-}}^{+\infty }-\int _{0^{-}}^{+\infty }{\frac {e^{-st}}{-s}}f'(t)dt} (Từng phần)     = [ − f ( 0 ) − s ] + 1 s L { f ′ ( t ) } , {\displaystyle ~~=\left[-{\frac {f(0)}{-s}}\right]+{\frac {1}{s}}{\mathcal {L}}\left\{f'(t)\right\},} L { d f d t } = s ⋅ L { f ( t ) } − f ( 0 ) , {\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{{\frac {df}{dt}}\right\}=s\cdot {\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}-f(0),}

Trong trường hợp 2 bên, ta có

L { d f d t } = s ∫ − ∞ + ∞ e − s t f ( t ) d t = s ⋅ L { f ( t ) } . {\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{{df \over dt}\right\}=s\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-st}f(t)\,dt=s\cdot {\mathcal {L}}\{f(t)\}.}

Liên hệ với các biến đổi khác

Biến đổi Fourier

Biến đổi Fourier liên tục tương đương với giá trị của biến đổi Laplace hai bên với argument là số phức s = iω hay s = 2 π f i {\displaystyle s=2\pi fi}

F ( ω ) = F { f ( t ) } = L { f ( t ) } | s = i ω = F ( s ) | s = i ω = ∫ − ∞ + ∞ e − ı ω t f ( t ) d t . {\displaystyle {\begin{array}{rcl}F(\omega )&=&{\mathcal {F}}\left\{f(t)\right\}\\[1em]&=&{\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}|_{s=i\omega }=F(s)|_{s=i\omega }\\[1em]&=&\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-\imath \omega t}f(t)\,\mathrm {d} t.\\\end{array}}}

Chú ý biểu thức này không tính đến hệ số tỉ lệ 1 2 π {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}} , điều này được tính đến trong định nghĩa của biến đổi Fourier.

Mối quan hệ này giữa biến đổi Laplace và biến đổi Fourier thường được dùng để xác định quang phổ tần số của một tín hiệu hay hệ thống động lực học (dynamic system).

Biến đổi Mellin

Biến đổi Mellin và phép nghịch đảo của nó liên hệ với biến đổi Laplace hai bên bằng cách thay đổi biến. Trong biến đổi Mellin

G ( s ) = M { g ( θ ) } = ∫ 0 ∞ θ s g ( θ ) d θ θ {\displaystyle G(s)={\mathcal {M}}\left\{g(\theta )\right\}=\int _{0}^{\infty }\theta ^{s}g(\theta ){\frac {d\theta }{\theta }}}

Ta đặt θ = e-t, ta sẽ thu được biến đổi Laplace hai bên.

Biến đổi Z

Biến đổi Z là biến đổi Laplace của một tín hiệu thử lý tưởng bằng cách thay thế

z   = d e f   e s T   {\displaystyle z\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ e^{sT}\ } , với T = 1 / f s   {\displaystyle T=1/f_{s}\ } là chu kỳ (đơn vị là giây), và f s   {\displaystyle f_{s}\ } là tần số (đơn vị là hertz)

đặt

Δ T ( t )   = d e f   ∑ n = 0 ∞ δ ( t − n T ) {\displaystyle \Delta _{T}(t)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{n=0}^{\infty }\delta (t-nT)} là xung lực thử (còn gọi là lực Dirac).

và

x q ( t )   = d e f   x ( t ) Δ T ( t ) = x ( t ) ∑ n = 0 ∞ δ ( t − n T ) {\displaystyle x_{q}(t)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ x(t)\Delta _{T}(t)=x(t)\sum _{n=0}^{\infty }\delta (t-nT)} = ∑ n = 0 ∞ x ( n T ) δ ( t − n T ) = ∑ n = 0 ∞ x [ n ] δ ( t − n T ) {\displaystyle =\sum _{n=0}^{\infty }x(nT)\delta (t-nT)=\sum _{n=0}^{\infty }x[n]\delta (t-nT)}

là sự biểu diễn liên tục thời gian (continuous-time) của x(t) còn x [ n ]   = d e f   x ( n T )   {\displaystyle x[n]\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ x(nT)\ } là biểu diễn sự rời rạc của x(t).

Biến đổi Laplace đối với tín hiệu thử xq(t) là

X q ( s ) = ∫ 0 − ∞ x q ( t ) e − s t d t {\displaystyle X_{q}(s)=\int _{0^{-}}^{\infty }x_{q}(t)e^{-st}\,dt}   = ∫ 0 − ∞ ∑ n = 0 ∞ x [ n ] δ ( t − n T ) e − s t d t {\displaystyle \ =\int _{0^{-}}^{\infty }\sum _{n=0}^{\infty }x[n]\delta (t-nT)e^{-st}\,dt}   = ∑ n = 0 ∞ x [ n ] ∫ 0 − ∞ δ ( t − n T ) e − s t d t {\displaystyle \ =\sum _{n=0}^{\infty }x[n]\int _{0^{-}}^{\infty }\delta (t-nT)e^{-st}\,dt}   = ∑ n = 0 ∞ x [ n ] e − n s T . {\displaystyle \ =\sum _{n=0}^{\infty }x[n]e^{-nsT}.}

Đây là định nghĩa chính xác của biến đổi Z đối với hàm x[n].

X ( z ) = ∑ n = 0 ∞ x [ n ] z − n {\displaystyle X(z)=\sum _{n=0}^{\infty }x[n]z^{-n}} (thay z ← e s T   {\displaystyle z\leftarrow e^{sT}\ } )

So sánh 2 phương trình cuối ta thấy mối liên hệ giữa biến đổi Z và biến đổi Laplace của tín hiệu thử

X q ( s ) = X ( z ) | z = e s T . {\displaystyle X_{q}(s)=X(z){\Big |}_{z=e^{sT}}.}

Biến đổi Borel

Dạng tích phân của biến đổi Borel có liên hệ với biến đổi Laplace; thật sự, có một số nhầm lẫn khi cho rằng chúng tương tự như nhau. Biến đổi Borel tổng quát tạo ra biến đổi Laplace cho những hàm không phải hàm mũ.

Mối quan hệ cơ bản

Từ biến đổi Laplace ban đầu có thể xem như là trường hợp đặc biệt của biến đổi hai bên, và từ biến đổi hai bên có thể xem như là tổng của hai biến đổi một bên, điểm khác biệt riêng của các biến đổi Laplace, Fourier, Mellin, Z ở trên là sự liên quan của từng biến đổi đối với biến đổi tích phân.